Cara menemukan vektor eigen dan nilai eigen untuk matriks


13. Nilai Eigen dan Vektor Eigen (Juli 2019).

Anonim

Ketika mempertimbangkan masalah ini, harus diingat bahwa semua objek yang digunakan adalah vektor, dan yang n-dimensi. Saat merekamnya, tidak ada tanda-tanda khusus yang sesuai dengan vektor klasik.

Instruksi

1

Angka k disebut nilai eigen (angka) dari matriks A, jika ada vektor x sedemikian rupa sehingga Ax = kx. (1) Selain itu, vektor x disebut vektor eigen dari matriks A, sesuai dengan angka k. Dalam ruang R ^ n (lihat Gambar 1), matriks A memiliki bentuk yang ditunjukkan pada gambar.

2

Adalah perlu untuk mengajukan masalah dalam menemukan nilai eigen dan vektor dari matriks A. Biarkan vektor eigen x diberikan oleh koordinat. Dalam bentuk matriks, ditulis dalam matriks kolom, yang, untuk kenyamanan, harus direpresentasikan sebagai string yang ditransposisikan. X = (x1, x2, .

, xn) ^ T. Berdasarkan pada (1), Ax-kx = 0 atau Ax-kEx = 0, di mana E adalah matriks identitas (unit terletak di diagonal utama, semua elemen lainnya adalah nol). Kemudian (A-kE) x = 0. (2)

3

Ekspresi (2) adalah sistem persamaan aljabar homogen linier, yang memiliki solusi bukan nol (vektor eigen). Oleh karena itu, penentu utama sistem (2) adalah nol, yaitu | A-kE | = 0. (3) Kesetaraan terakhir sehubungan dengan nilai eigen k disebut persamaan karakteristik dari matriks A dan dalam bentuk diperluas memiliki bentuk (lihat Gambar. 2).

4

Ini adalah persamaan aljabar derajat n. Akar sebenarnya dari persamaan karakteristik adalah nilai eigen (nilai) dari matriks A.

5

Mengganti akar k dari persamaan karakteristik ke dalam sistem (2), kami memperoleh sistem persamaan linear yang homogen dengan matriks degenerasi (determinannya adalah nol). Setiap solusi bukan nol dari sistem ini adalah vektor eigen dari matriks A, yang sesuai dengan nilai eigen k yang diberikan (yaitu, akar persamaan karakteristik).

6

Sebuah contoh Temukan nilai eigen dan vektor dari matriks A (lihat Gambar 3). Solusi. Persamaan karakteristik disajikan dalam gambar. 3. Perluas determinan dan temukan nilai eigen dari matriks, yang merupakan akar dari persamaan ini (3-k) (- 1-k) -5 = 0, (k-3) (k + 1) -5 = 0, k ^ 2- 2k-8 = 0. Akarnya adalah k1 = 4, k2 = -2

7

a) Vektor eigen yang sesuai dengan k1 = 4 ditemukan dengan memecahkan sistem (A-4kE) x = 0. Dalam hal ini, hanya satu dari persamaannya yang diperlukan, karena penentu sistem jelas nol. Jika kita menetapkan x = (x1, x2) ^ T, maka persamaan pertama dari sistem (1-4) x1 + x2 = 0, -3x1 + x2 = 0. Jika kita mengasumsikan bahwa x1 = 1 (hanya non-nol), maka x2 = 3. Karena ada banyak solusi bukan nol yang sewenang-wenang dari sistem homogen dengan matriks degenerasi, seluruh rangkaian vektor eigen sesuai dengan nilai eigen pertama x = C1 (1, 3), C1 = const.

8

b) Temukan vektor eigen yang sesuai dengan k2 = -2. Ketika memecahkan sistem (A + 2kE) x = 0, persamaan pertamanya adalah (3 + 2) x1 + x2 = 0, 5x1 + x2 = 0. Jika kita menetapkan x1 = 1, maka x2 = -5. Vektor eigen yang sesuai x = C2 (1, 3), C2 = const. Himpunan total semua vektor eigen dari matriks yang diberikan: x = C1 (1, 3) + C2 (1, 3).

  • Piskunov N.S. Kalkulus diferensial dan integral. M., 1976, - 576 hal.
  • temukan nilai eigen dan vektor matriks